2025年高考數學(xué)高分方法:高中函數值域的求法

　　一.觀(guān)察法

　　通過(guò)對函數定義域、性質(zhì)的觀(guān)察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

　　例1求函數y=3+√(2-3x)的值域。

　　點(diǎn)撥：根據算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2-3x)的值域。

　　解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2-3x)≥0，

　　故3+√(2-3x)≥3。

　　∴函數的知域為.

　　點(diǎn)評：算術(shù)平方根具有雙重非負性，即：(1)被開(kāi)方數的非負性，(2)值的非負性。

　　本題通過(guò)直接觀(guān)察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類(lèi)函數的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。

　　練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

　　二.反函數法

　　當函數的反函數存在時(shí)，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

　　例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　點(diǎn)撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

　　解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實(shí)數,故函數y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。

　　點(diǎn)評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學(xué)解題的重要方法之一。

　　練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y∣y<-1或y>1｝)

　　三.配方法

　　當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時(shí),可以利用配方法求函數值域

　　例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。

　　點(diǎn)撥：將被開(kāi)方數配方成平方數，利用二次函數的值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時(shí)-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

　　點(diǎn)評：求函數的值域不但要重視對應關(guān)系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學(xué)的一種重要的思想方法。

　　練習：求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

　　四.判別式法

　　若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數或無(wú)理函數,可用判別式法求函數的值域。

　　例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　點(diǎn)撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

　　解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

　　當y≠2時(shí),由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　當y=2時(shí),方程(*)無(wú)解。∴函數的值域為2

　　點(diǎn)評：把函數關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

　　練習：求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。

　　五.值法

　　對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的較值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的值,可得到函數y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿(mǎn)足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

　　點(diǎn)撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

　　當x=-1時(shí)，z=-5;當x=3/2時(shí)，z=15/4。

　　∴函數z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。

　　點(diǎn)評：本題是將函數的值域問(wèn)題轉化為函數的值。對開(kāi)區間，若存在值，也可通過(guò)求出值而獲得函數的值域。

　　練習：若√x為實(shí)數，則函數y=x2+3x-5的值域為()

　　A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)

　　(答案：D)。

　　六.圖象法

　　通過(guò)觀(guān)察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

　　例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

　　點(diǎn)撥：根據值的意義，去掉符號后轉化為分段函數，作出其圖象。

　　解：原函數化為-2x+1(x≤1)

　　y=3(-1

　　2x-1(x>2)

　　它的圖象如圖所示。

　　顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，+∞]。

　　點(diǎn)評：分段函數應注意函數的端點(diǎn)。利用函數的圖象

　　求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問(wèn)題的重要方法。

　　求函數值域的方法較多，還適應通過(guò)不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。

　　七.單調法

　　利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

　　例1求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

　　點(diǎn)撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

　　解：設f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x

　　在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為{y|y≤4/3｝。

　　點(diǎn)評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點(diǎn)的函數值，進(jìn)而可確定函數的值域。

　　練習：求函數y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)

　　八.換元法

　　以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進(jìn)而求出值域。

　　例2求函數y=x-3+√2x+1的值域。

　　點(diǎn)撥：通過(guò)換元將原函數轉化為某個(gè)變量的二次函數，利用二次函數的值，確定原函數的值域。

　　解：設t=√2x+1(t≥0),則

　　x=1/2(t2-1)。

　　于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

　　所以，原函數的值域為{y|y≥-7/2｝。

　　點(diǎn)評：將無(wú)理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過(guò)求出二次函數的值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。

　　練習：求函數y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝

　　九.構造法

　　根據函數的結構特征，賦予幾何圖形，數形結合。

　　例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

　　點(diǎn)撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。

　　解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

　　作一個(gè)長(cháng)為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位

　　正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

　　KC=√(x+2)2+1。

　　由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點(diǎn)共

　　線(xiàn)時(shí)取等號。

　　∴原函數的知域為{y|y≥5｝。

　　點(diǎn)評：對于形如函數y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過(guò)構造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀(guān)明了、方便簡(jiǎn)捷。這是數形結合思想的體現。

　　練習：求函數y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)

　　十.比例法

　　對于一類(lèi)含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進(jìn)而求出原函數的值域。

　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。

　　點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數，代入原函數。

　　解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)

　　∴x=3+4k,y=1+3k,

　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

　　當k=-3/5時(shí)，x=3/5,y=-4/5時(shí)，zmin=1。

　　函數的值域為{z|z≥1｝.

　　點(diǎn)評：本題是多元函數關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過(guò)設參數，可將原函數轉化為單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創(chuàng )新意識。

　　練習：已知x,y∈R，且滿(mǎn)足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)

　　十一.利用多項式的除法

　　例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。

　　點(diǎn)撥：將原分式函數，利用長(cháng)除法轉化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。

　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。

　　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

　　∴函數y的值域為y≠3的一切實(shí)數。

　　點(diǎn)評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。

　　練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)

　　十二.不等式法

　　例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

　　點(diǎn)撥：先求出原函數的反函數，根據自變量的取值范圍，構造不等式。

　　解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],

　　由對數函數的定義知x/(1-x)>0

　　1-x≠0

　　解得，0

　　∴函數的值域(0，1)。

　　點(diǎn)評：考查函數自變量的取值范圍構造不等式(組)或構造重要不等式，求出函數定義域，進(jìn)而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學(xué)解題的方法之一。

　　以下供練習選用：求下列函數的值域

　　1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3｝)

　　2.Y=2x/(2x-1)。(y>1或y<0)

　　注意變量哦

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