2020北京高考數學(xué)試卷權威解析

　　數學(xué)試卷整體分析

　　2020年高考數學(xué)北京卷落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，加強關(guān)鍵能力和素養的考查，通過(guò)“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”做好文理合卷，形成“一個(gè)中心，三個(gè)基本點(diǎn)，五條路徑”的評價(jià)體系。即以立德樹(shù)人為中心；以知識思想、能力素養、應用文化為三個(gè)基本點(diǎn)；以?xún)?yōu)化試卷結構、精選試題素材、科學(xué)設計試題內容、創(chuàng )新試題設問(wèn)方式、凸顯試題發(fā)展功能為五條實(shí)施的路徑。

　　以立德樹(shù)人為命題的中心

　　北京卷命題以立德樹(shù)人為根本，突出試題的育人價(jià)值。如第15題關(guān)注現實(shí)生活中的環(huán)境污染問(wèn)題，引導學(xué)生關(guān)注民生，樹(shù)立有責任的公民意識。

　　北京卷繼續堅持對“四具備”人才的考查。如第9題，考查的是三角函數的知識，需要細致的觀(guān)察、嚴謹的推理和高度概括整合，找出角與三角函數值之間的關(guān)系；第20題的第（2）問(wèn)，需要學(xué)生在計算過(guò)程中，一絲不茍，嚴謹求實(shí)的精神。

　　總之，北京卷通過(guò)設置不同的問(wèn)題情境，體現高考的育人功能。

　　●以知識思想、能力素養、應用文化為命題的三個(gè)基本點(diǎn)

　　數學(xué)是自然科學(xué)的基礎，也是重大技術(shù)創(chuàng )新發(fā)展的基礎；而數學(xué)實(shí)力往往影響著(zhù)國家實(shí)力。北京卷以知識思想、能力素養和應用文化為命題的三個(gè)基本點(diǎn)，力圖把學(xué)生的數學(xué)真實(shí)實(shí)力考出來(lái)。

　　01

　　突出對主干知識和重要思想的考查

　　北京卷突出考查主干知識內容，強調通性通法。如對集合、復數、向量、函數、三角函數、立體幾何、解三角形、統計與概率、函數與導數、圓錐曲線(xiàn)等主要板塊的主干內容進(jìn)行重點(diǎn)考查，充分體現了對數學(xué)知識考查的基礎性、全面性和綜合性。

　　數學(xué)基本思想方法是數學(xué)知識在更高層次的抽象與概括。北京卷第5、6、10、15題考查數形結合的思想；第8、19題考查函數與方程的思想；第10、13、16、21題考查化歸與轉化思想；第18題考查或然與必然的思想；第19、21題考查分類(lèi)與整合的思想。

　　02

　　突出對數學(xué)關(guān)鍵能力和

　　數學(xué)學(xué)科素養的考查

　　北京卷突出對數學(xué)抽象、邏輯推理、數學(xué)建模、直觀(guān)想象、數學(xué)運算、數據分析六大素養的綜合考查。

　　如第15題污水治理問(wèn)題，主要考查學(xué)生的抽象概括、直觀(guān)想象能力。第18題是考查學(xué)生數據分析和數學(xué)建模的素養。北京卷設計現實(shí)性和綜合性問(wèn)題，在現實(shí)情境中考查學(xué)生核心素養的發(fā)展水平。

　　03

　　突出對數學(xué)應用和文化的考查

　　北京卷突出對數學(xué)應用和文化的考查。數學(xué)應用考查方面，北京卷關(guān)注社會(huì )，關(guān)注學(xué)生發(fā)展，引導學(xué)生運用所學(xué)數學(xué)知識解決生活實(shí)際問(wèn)題。如第15題，選取具有時(shí)代特色的環(huán)境治理為情境創(chuàng )設數學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生身邊的數學(xué)；第18題考查概率統計知識在數學(xué)和生活中的應用，使學(xué)生體會(huì )到數學(xué)知識與現實(shí)生活息息相關(guān)。

　　北京卷進(jìn)一步加強數學(xué)文化的考查，增強文化性。如第10題關(guān)注無(wú)理數的兩種計算方法：中國傳統的“割圓術(shù)”和數學(xué)家阿爾·卡西的求解方法。既弘揚了中國傳統文化，又引導學(xué)生學(xué)習世界輝煌燦爛的數學(xué)文化。

　　●助力文理合卷新高考落地的五條路徑

　　根據考試內容要求、考生群體變化、考生水平變化，北京卷在試題的文理合卷方面，遵循“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的基本原則。通過(guò)優(yōu)化試卷結構、精選試題素材、科學(xué)設計試題內容、創(chuàng )新試題設問(wèn)方式、凸顯試題發(fā)展功能等方面推進(jìn)新高考的改革，打造高考數學(xué)命題新形態(tài)。

　　01

　　優(yōu)化試卷結構，

　　推進(jìn)文理合卷順利實(shí)施

　　在保持測試時(shí)長(cháng)和總分不變的前提下，北京卷優(yōu)化試卷的結構，調整了選擇題、填空題和解答題的數量和分值。選擇題由原來(lái)的8道變?yōu)?0道，填空題由原來(lái)的6道變?yōu)?道。增加了主觀(guān)題的比例，主客觀(guān)題目比值為1.3:1。通過(guò)加強對主觀(guān)題的考查，為學(xué)生展現數學(xué)思維能力搭建了平臺。

　　根據試題難度和要求，北京卷在試題的排列順序上也有所變化。如首次將立體幾何解答題放在解答題的第一題進(jìn)行考查。這種嘗試增強了試題靈活性，為引導教學(xué)、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用。

　　在試卷難度控制上，為了增強文科傾向考生在數學(xué)學(xué)習上的獲得感，試題“入口易、口徑寬”，中低難度試題的分值占有一定的比例；為了繼續保持理科傾向考生在數學(xué)學(xué)習上的成就感，試題“深入緩、出口難”，沒(méi)有降低綜合創(chuàng )新題的難度，依然具有較強的挑戰性，并保持了較好的區分度。

　　02

　　精選試題素材，

　　貼近學(xué)生的真實(shí)生活

　　北京卷試題素材的選取真實(shí)、自然、合理。如第15題通過(guò)以污水治理為背景設置題目，體現了十九大報告提出的“提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿(mǎn)足人民日益增長(cháng)的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求；第18題通過(guò)活動(dòng)方案支持度調查，體現了民主決策過(guò)程。材料源于社會(huì )、源于真實(shí)情境，考查學(xué)生分析和解決具有實(shí)際意義問(wèn)題的能力。

　　03

　　科學(xué)設計試題內容，

　　回歸數學(xué)本質(zhì)和學(xué)生的基礎

　　北京卷命題體現數學(xué)本質(zhì)，遵循學(xué)生身心發(fā)展的規律。一是試題內容緊扣課標和教材，體現數學(xué)的本質(zhì)，引導教學(xué)回歸數學(xué)本質(zhì)，回歸學(xué)生的基礎。如第10題根據教材中提到的“割圓術(shù)”的部分思想改編而成，第16、17題都是立體幾何和三角部分的基礎性問(wèn)題。

　　二是試題具有豐富的問(wèn)題梯度，符合學(xué)生的認知規律。如第12、13題，都是設置兩空，第一空為第二空適當做鋪墊。如第18題，學(xué)生在解決了第（1）問(wèn)后，就會(huì )為第（2）問(wèn)的解答提供基礎和臺階。試卷通過(guò)“多問(wèn)把關(guān)”“多題把關(guān)”等方式，為不同水平的考生搭建了施展才華的舞臺。

　　04

　　創(chuàng )新試題呈現方式，

　　力求考出具有不同專(zhuān)業(yè)傾向

　　學(xué)生的真實(shí)水平

　　北京卷在試題上進(jìn)行適度創(chuàng )新，增強試題的選擇性和開(kāi)放性。

　　一是設計條件或結論開(kāi)放、解題方法多樣、答案不唯一的試題。如第14題，要求學(xué)生給出滿(mǎn)足條件的一個(gè)常數值，試題答案不唯一。學(xué)生需要根據已有的信息進(jìn)行猜想、探究和推理，從而得出結論。

　　二是設計分層賦分試題。第15題污水治理問(wèn)題，從不同角度設置了4個(gè)選項，其中3個(gè)是正確的。

　　三是設計了結構不良問(wèn)題，需要學(xué)生自己選擇適當的條件進(jìn)行解決。如第17題的設問(wèn)具有開(kāi)放性，學(xué)生需要選擇條件①或條件②，用余弦定理或正弦定理去求解三角形。兩個(gè)問(wèn)題需要的知識和方法有所不同，考查具有不同專(zhuān)業(yè)傾向的學(xué)生真實(shí)水平。

　　05

　　凸顯試題的價(jià)值功能，

　　為學(xué)生的終身發(fā)展打基礎

　　北京卷的命題，不僅體現人才的選拔功能，而且還引導學(xué)生去探索，應用數學(xué)知識去解決職場(chǎng)與生活中的實(shí)際問(wèn)題。如第18題，以學(xué)生熟悉的學(xué)校生活為背景來(lái)設計，重點(diǎn)考查抽樣，樣本估計總體，總體的概率推斷。第（1）問(wèn)考查“樣本估計總體”的思想，現實(shí)生活中需要對總體做一些判斷，比如兩個(gè)男學(xué)生是否同時(shí)支持該方案的概率，或者更復雜的群體（如第（2）問(wèn)中的群體）的支持度。除性別外，第（3）問(wèn)考查不同年級的支持情況。作為校方，為了提高學(xué)生的支持度，需要加強對高年級的學(xué)生宣傳和方案完善。問(wèn)題引導學(xué)生積極參與到學(xué)校的各項活動(dòng)和決策中，這為學(xué)生未來(lái)的職業(yè)發(fā)展奠定了基礎。

　　高考具有發(fā)展性功能，北京卷在促進(jìn)學(xué)生數學(xué)的可持續思考中起到重要的作用。第21題需要學(xué)生運用逆向思維、歸納、分類(lèi)討論、反證法、最小數原理等數學(xué)思考方法，并能用數學(xué)的語(yǔ)言邏輯，嚴謹地寫(xiě)出證明過(guò)程�？疾閷W(xué)生的一般化和概括遷移能力，有助于引導學(xué)生從做題到做事，為未來(lái)進(jìn)一步學(xué)習奠定良好的基礎。

　　2020年是文理合卷的第一年，疫情給高考命題帶來(lái)了新的問(wèn)題和挑戰。北京卷以立德樹(shù)人為中心，著(zhù)力于知識方法，能力素養，文化應用的考查，依據“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”“多問(wèn)把關(guān)”“多題把關(guān)”等基本原則進(jìn)行文理合卷的設計，形成了“一個(gè)中心，三個(gè)基本點(diǎn)，五條路徑”的評價(jià)體系。

　　引導教學(xué)在六個(gè)方面“下功夫”，即“在主干知識的掌握上下功夫”“在數學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解上下功夫”“在數學(xué)思想方法的領(lǐng)悟上下功夫”“在數學(xué)應用探究上下功夫”“在創(chuàng )新思維形成上下功夫”“在數學(xué)素養的養成上下功夫”。

　　導向中學(xué)對“四具備”人才的培養，即“具備自覺(jué)的數量觀(guān)念的人”“具備嚴密推理邏輯的人”“具備高度抽象概括的人”“具備一絲不茍、精益求精作風(fēng)的人”。

　　2020年數學(xué)學(xué)科高考命題落實(shí)新高考文理合卷要求、保持命題總體穩定的前提下，變中求穩，穩中求進(jìn)，不忘教育初心，牢記高考改革的使命，引導中學(xué)遵循教育規律，助力學(xué)生德智體美勞的全面發(fā)展。

　　數學(xué)試卷的特點(diǎn)

　　2020年高考北京數學(xué)試卷整體上符合國家課程標準要求，結合北京市高中數學(xué)教學(xué)現狀，知識要素覆蓋全面，數學(xué)素養考查突出。與去年相比，在試卷結構、分數設置等方面有所調整，在題型分布、難度預設和梯度設計方面基本保持穩定。試題設計圍繞高中數學(xué)的核心內容，重點(diǎn)知識重點(diǎn)考查，通性通法著(zhù)力考查；圍繞學(xué)生的學(xué)習和生活實(shí)際，考查數學(xué)知識的綜合與應用，體現數學(xué)的文化及教育價(jià)值。

　　●保持穩定和連續性，穩中有進(jìn)，適度創(chuàng )新

　　相比于去年，數學(xué)試卷總體穩定，有利于考生穩定心態(tài)，正常發(fā)揮；適度創(chuàng )新，有利于考查考生的實(shí)踐能力和鍥而不舍的精神。

　　相比于去年，數學(xué)試卷由兩套試卷（文理各一套）調整為一套試卷，試題題型依然是選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預設基本符合從易到難的分布。試題的表述形式簡(jiǎn)潔、規范，圖文準確并相互匹配，呈現方式及作答方式堅持多樣化，延續了北京數學(xué)試卷“大氣、平和”的特點(diǎn)。

　　相比于去年，數學(xué)試卷在題量分布、分數設置等方面均有變化，調整了部分考查內容，出現了新穎的題目形式。例如選擇題由8個(gè)小題，每題5分，調整為了10個(gè)小題，每題4分，總分保持不變；填空題由6個(gè)小題，調整為了5個(gè)小題，每題依然是5分，總分由30分降為25分；解答題依然是6個(gè)小題，但總分由80分提升為85分。在考查內容上有所調整，刪減了一些歷年�？嫉膬热�，如線(xiàn)性規劃、算法和程序框圖、參數方程和極坐標等。在題目呈現上出現了一些新的變化，用以區分不同能力水平的學(xué)生。例如第（17）題難度并不大，但思維的自由度較大，由考生自行選擇設計問(wèn)題并解答，凸顯考生分析和解決問(wèn)題的能力。

　　●堅持考查基礎知識和基本技能，夯實(shí)基礎，強調綜合

　　整份試卷注重對基礎知識和基本方法的考查，主干內容重點(diǎn)考查。

　　例如，選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內容都是基礎知識和基本方法，考查了集合、復數、二項式定理、三視圖、兩點(diǎn)間的距離公式、函數定義域、雙曲線(xiàn)的性質(zhì)、平面向量等內容。

　　在試題設計上，這些試題涉及的知識點(diǎn)相對較少、思維相對簡(jiǎn)單，易于解答。在此基礎上，試卷強調對主干內容的重點(diǎn)考查，體現了對數學(xué)知識考查的全面性、基礎性和綜合性，在解答題中重點(diǎn)考查了立體幾何、三角函數、概率統計、導數、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)、數列綜合等主干內容。解答題的前2道題，表述簡(jiǎn)單明確，集中考查立體幾何和解三角形的主干知識及核心概念。再例如第（18）題，情境熟悉，問(wèn)題清楚，重點(diǎn)考查讀題、讀表、計算等基本技能及方法。

　　●堅持考查數學(xué)方法及數學(xué)本質(zhì)，能力立意，凸顯數學(xué)素養

　　試卷突出了數學(xué)學(xué)科素養，在關(guān)注考生未來(lái)發(fā)展的同時(shí)，以能力立意，強調了數學(xué)方法和數學(xué)本質(zhì)的考查，在選拔功能等方面都作了精心設計。

　　例如，第（6）題表面上是解不等式，實(shí)質(zhì)是在考查基本初等函數的圖像，有助于學(xué)生建立形與數的聯(lián)系，加深對事物本質(zhì)和發(fā)展規律的理解和認知，體現了直觀(guān)想象核心素養；第（18）題的解決需要學(xué)生分析數據，從數據中獲得有用信息并形成數學(xué)模型，注重了對公民應具備的基本數學(xué)素養——數據分析的考查；第（20）題考查了解析幾何中的主要方法，需要學(xué)生具備一定的數學(xué)運算核心素養，并能夠程序化思考問(wèn)題；第（21）題是以數列知識為背景的創(chuàng )新問(wèn)題，梯度明顯，重點(diǎn)考查了學(xué)生的邏輯推理素養，對學(xué)生有論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣和數學(xué)交流能力有一定的要求。此外，從第（18）題到第（21）題，雖然每道題都考查了數學(xué)的主干知識和主要方法，入口也很容易，但其出口并不簡(jiǎn)單，試題在讓不同層次的學(xué)生均有所獲得同時(shí)，進(jìn)行多題把關(guān)，體現了試題的選拔功能。

　　●重視數學(xué)應用，滲透數學(xué)文化，體現數學(xué)價(jià)值

　　應用問(wèn)題在素材選取上，源于社會(huì )實(shí)際和學(xué)生的真實(shí)生活，考查學(xué)生數學(xué)應用素養、理性思維素養，引導學(xué)生感悟數學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。

　　例如第（15）題，以環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強污水處理，排放未達標的企業(yè)要限期整改這個(gè)情境為載體，貼近生活，是對數學(xué)學(xué)習后所沉淀下來(lái)的素養的考查，要求考生能夠在短時(shí)間內審清題意，理清解決問(wèn)題的思路，建立適當的數學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題，體現試題的教育價(jià)值。例如第（10）題，以2020年3月14日全球首個(gè)國際圓周率日為背景，結合中國優(yōu)秀傳統數學(xué)文化中的“割圓術(shù)”及近代數學(xué)史上西方的阿爾·卡西法，感悟數學(xué)“近似計算”之美，將美育教育融入數學(xué)教育。引導學(xué)生關(guān)注世界，學(xué)習世界燦爛的數學(xué)文化。例如第（18）題，以學(xué)生身邊的兩項活動(dòng)方案來(lái)設置問(wèn)題，考查概率統計在生活中的應用，使學(xué)生體會(huì )到數學(xué)與現實(shí)生活息息相關(guān)。這類(lèi)問(wèn)題重點(diǎn)考查數據處理能力，也增強學(xué)生用數據表述及解決現實(shí)問(wèn)題的意識。

　　縱觀(guān)整份試卷，在突出基本知識、基本技能和基本思想方法考查的同時(shí)，突出考查學(xué)生的數學(xué)素養，展現數學(xué)的應用價(jià)值。保持了北京試卷綜合、靈活的特色，變中求穩，穩中求進(jìn)，給不同能力水平的學(xué)生提供了展示的平臺，對今后的數學(xué)教學(xué)起到了積極的引導作用。

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