高三數學(xué)教案：《簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃》教學(xué)設計

　　本文題目：高三數學(xué)教案：簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃

　　●知識梳理

　　1.二元一次不等式表示平面區域

　　在平面直角坐標系中，已知直線(xiàn)Ax+By+C=0，坐標平面內的點(diǎn)P(x0，y0).

　　B>0時(shí)，①Ax0+By0+C>0，則點(diǎn)P(x0，y0)在直線(xiàn)的上方;②A(yíng)x0+By0+C<0，則點(diǎn)P(x0，y0)在直線(xiàn)的下方.

　　對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)，無(wú)論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數變形為正數.

　　當B>0時(shí)，①Ax+By+C>0表示直線(xiàn)Ax+By+C=0上方的區域;②A(yíng)x+By+C<0表示直線(xiàn)Ax+By+C=0下方的區域.

　　2.線(xiàn)性規劃

　　求線(xiàn)性目標函數在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統稱(chēng)為線(xiàn)性規劃問(wèn)題.

　　滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域(類(lèi)似函數的定義域);使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解.生產(chǎn)實(shí)際中有許多問(wèn)題都可以歸結為線(xiàn)性規劃問(wèn)題.

　　線(xiàn)性規劃問(wèn)題一般用圖解法，其步驟如下：

　　(1)根據題意，設出變量x、y;

　　(2)找出線(xiàn)性約束條件;

　　(3)確定線(xiàn)性目標函數z=f(x，y);

　　(4)畫(huà)出可行域(即各約束條件所示區域的公共區域);

　　(5)利用線(xiàn)性目標函數作平行直線(xiàn)系f(x，y)=t(t為參數);

　　(6)觀(guān)察圖形，找到直線(xiàn)f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案.

　　●點(diǎn)擊雙基

　　1.下列命題中正確的是

　　A.點(diǎn)(0，0)在區域x+y≥0內

　　B.點(diǎn)(0，0)在區域x+y+1<0內

　　C.點(diǎn)(1，0)在區域y>2x內

　　D.點(diǎn)(0，1)在區域x-y+1>0內

　　解析：將(0，0)代入x+y≥0，成立.

　　答案：A

　　2.(2005年海淀區期末練習題)設動(dòng)點(diǎn)坐標(x，y)滿(mǎn)足

　　(x-y+1)(x+y-4)≥0，

　　x≥3，

　　A. B. C. D.10

　　解析：數形結合可知當x=3，y=1時(shí)，x2+y2的最小值為10.

　　答案：D

　　2x-y+1≥0，

　　x-2y-1≤0，

　　x+y≤1

　　A.正三角形及其內部

　　B.等腰三角形及其內部

　　C.在第一象限內的一個(gè)無(wú)界區域

　　D.不包含第一象限內的點(diǎn)的一個(gè)有界區域

　　解析：將(0，0)代入不等式組適合C，不對;將( ， )代入不等式組適合D，不對;又知2x-y+1=0與x-2y-1=0關(guān)于y=x對稱(chēng)且所夾頂角α滿(mǎn)足

　　tanα= = .

　　∴α≠ .

　　答案：B

　　4.點(diǎn)(-2，t)在直線(xiàn)2x-3y+6=0的上方，則t的取值范圍是________________.

　　解析：(-2，t)在2x-3y+6=0的上方，則2×(-2)-3t+6<0，解得t> .

　　答案：t>

　　5.不等式組 表示的平面區域內的整點(diǎn)(橫坐標和縱坐標都是整數的點(diǎn))共有____________個(gè).

　　解析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3個(gè).

　　答案：3

　　●典例剖析

　　【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區域的面積.

　　剖析：依據條件畫(huà)出所表達的區域，再根據區域的特點(diǎn)求其面積.

　　解：|x-1|+|y-1|≤2可化為

　　x≥1， x≥1， x≤1， x≤1，

　　y≥1， y≤1， y≥1， y≤1，

　　x+y ≤4 x-y ≤2 y-x ≤2 x+y≥0.

　　其平面區域如圖.

　　∴面積S= ×4×4=8.

　　評述：畫(huà)平面區域時(shí)作圖要盡量準確，要注意邊界.

　　深化拓展

　　若再求：① ;② 的值域，你會(huì )做嗎?

　　答案： ①(-∞，- ]∪[ ，+∞);②[1，5].

　　【例2】 某人上午7時(shí)，乘摩托艇以勻速v n mile/h(4≤v≤20)從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車(chē)以勻速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市駛去.應該在同一天下午4至9點(diǎn)到達C市.設乘汽車(chē)、摩托艇去所需要的時(shí)間分別是x h、y h.

　　(1)作圖表示滿(mǎn)足上述條件的x、y范圍;

　　(2)如果已知所需的經(jīng)費

　　p=100+3×(5-x)+2×(8-y)(元)，

　　那么v、w分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟?此時(shí)需花費多少元?

　　剖析：由p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影響花費的是3x+2y的取值范圍.

　　解：(1)依題意得v= ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100.

　　∴3≤x≤10， ≤y≤ . ①

　　由于乘汽車(chē)、摩托艇所需的時(shí)間和x+y應在9至14個(gè)小時(shí)之間，即9≤x+y≤14.②

　　因此，滿(mǎn)足①②的點(diǎn)(x，y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界).

　　(2)∵p=100+3?(5-x)+2?(8-y)，

　　∴3x+2y=131-p.

　　設131-p=k，那么當k最大時(shí)，p最小.在通過(guò)圖中的陰影部分區域(包括邊界)且斜率為- 的直線(xiàn)3x+2y=k中，使k值最大的直線(xiàn)必通過(guò)點(diǎn)(10，4)，即當x=10，y=4時(shí)，p最小.

　　此時(shí)，v=12.5，w=30，p的最小值為93元.

　　評述：線(xiàn)性規劃問(wèn)題首先要根據實(shí)際問(wèn)題列出表達約束條件的不等式.然后分析要求量的幾何意義.

　　【例3】 某礦山車(chē)隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車(chē)和7輛載重量為6 t的乙型卡車(chē)，有9名駕駛員.此車(chē)隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠(chǎng).已知甲型卡車(chē)每輛每天可往返6次，乙型卡車(chē)每輛每天可往返8次.甲型卡車(chē)每輛每天的成本費為252元，乙型卡車(chē)每輛每天的成本費為160元.問(wèn)每天派出甲型車(chē)與乙型車(chē)各多少輛，車(chē)隊所花成本費最低?

　　剖析：弄清題意，明確與運輸成本有關(guān)的變量的各型車(chē)的輛數，找出它們的約束條件，列出目標函數，用圖解法求其整數最優(yōu)解.

　　解：設每天派出甲型車(chē)x輛、乙型車(chē)y輛，車(chē)隊所花成本費為z元，那么

　　x+y≤9，

　　10×6x+6×8x≥360，

　　0≤x≤4，

　　0≤y≤7.

　　z=252x+160y，

　　其中x、y∈N.

　　作出不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖.

　　作出直線(xiàn)l0：252x+160y=0，把直線(xiàn)l向右上方平移，使其經(jīng)過(guò)可行域上的整點(diǎn)，且使在y軸上的截距最小.觀(guān)察圖形，可見(jiàn)當直線(xiàn)252x+160y=t經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，5)時(shí)，滿(mǎn)足上述要求.

　　此時(shí)，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時(shí)，zmin=252×2+160×5=1304.

　　答：每天派出甲型車(chē)2輛，乙型車(chē)5輛，車(chē)隊所用成本費最低.

　　評述：用圖解法解線(xiàn)性規劃題時(shí)，求整數最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，對作圖精度要求較高，平行直線(xiàn)系f(x，y)=t的斜率要畫(huà)準，可行域內的整點(diǎn)要找準，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可行域中的各整點(diǎn).

　　●闖關(guān)訓練

　　夯實(shí)基礎

　　1.(x-1)2+(y-1)2=1是|x-1|+|y-1|≤1的__________條件.

　　A.充分而不必要 B.必要而不充分

　　C.充分且必要 D.既不充分也不必要

　　解析：數形結合.

　　答案：B

　　2.(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面區域為

　　解析：可轉化為

　　x+2y+1≥0， x+2y+1≤0，

　　x-y+4≤0 x-y+4≥0.

　　答案：B

　　3.(2004年全國卷Ⅱ，14)設x、y滿(mǎn)足約束條件

　　x≥0，

　　x≥y，

　　2x-y≤1，則z=3x+2y的最大值是____________.

　　解析：如圖，當x=y=1時(shí)，zmax=5.

　　答案：5

　　x-4y+3≤0，

　　3x+5y-25≤0，

　　x≥1，

　　_________.

　　解析：作出可行域，如圖.當把z看作常數時(shí)，它表示直線(xiàn)y=zx的斜率，因此，當直線(xiàn)y=zx過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z最大;當直線(xiàn)y=zx過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z最小.

　　x=1，

　　3x+5y-25=0，得A(1， ).

　　x-4y+3=0，

　　3x+5y-25=0，

　　∴zmax= = ，zmin= .

　　答案：

　　5.畫(huà)出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)為頂點(diǎn)的△ABC的區域(包括各邊)，寫(xiě)出該區域所表示的二元一次不等式組，并求以該區域為可行域的目標函數z=3x-2y的最大值和最小值.

　　分析：本例含三個(gè)問(wèn)題：①畫(huà)指定區域;②寫(xiě)所畫(huà)區域的代數表達式——不等式組; ③求以所寫(xiě)不等式組為約束條件的給定目標函數的最值.

　　解：如圖，連結點(diǎn)A、B、C，則直線(xiàn)AB、BC、CA所圍成的區域為所求△ABC區域.

　　直線(xiàn)AB的方程為x+2y-1=0，BC及CA的直線(xiàn)方程分別為x-y+2=0，2x+y-5=0.

　　在△ABC內取一點(diǎn)P(1，1)，分別代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得x+2y-1>0，x-y+2>0，2x+y-5<0.

　　因此所求區域的不等式組為

　　x+2y-1≥0，

　　x-y+2≥0，

　　2x+y-5≤0.

　　作平行于直線(xiàn)3x-2y=0的直線(xiàn)系3x-2y=t(t為參數)，即平移直線(xiàn)y= x，觀(guān)察圖形可知：當直線(xiàn)y= x- t過(guò)A(3，-1)時(shí)，縱截距- t最小.此時(shí)t最大，tmax=3×3-2× (-1)=11;

　　當直線(xiàn)y= x- t經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1，1)時(shí)，縱截距- t最大，此時(shí)t有最小值為tmin= 3×(-1)-2×1=-5.

　　因此，函數z=3x-2y在約束條件

　　x+2y-1≥0，

　　x-y+2≥0，

　　2x+y-5≤0

　　6.某�；锸抽L(cháng)期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0.5元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，問(wèn)應如何配制盒飯，才既科學(xué)又費用最少?

　　解：設每盒盒飯需要面食x(百克)，米食y(百克)，

　　所需費用為S=0.5x+0.4y，且x、y滿(mǎn)足

　　6x+3y≥8，

　　4x+7y≥10，

　　x≥0，

　　y≥0，

　　由圖可知，直線(xiàn)y=- x+ S過(guò)A( ， )時(shí)，縱截距 S最小，即S最小.

　　故每盒盒飯為面食 百克，米食 百克時(shí)既科學(xué)又費用最少.

　　培養能力

　　7.配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A種藥需甲料3 mg，乙料5 mg;配一劑B種藥需甲料5 mg，乙料4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B兩種藥至少各配一劑，問(wèn)共有多少種配制方法?

　　解：設A、B兩種藥分別配x、y劑(x、y∈N)，則

　　x≥1，

　　y≥1，

　　3x+5y≤20，

　　5x+4y≤25.

　　上述不等式組的解集是以直線(xiàn)x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區域，這個(gè)區域內的整點(diǎn)為(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)、(3，2)、(4，1).所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法.

　　8.某公司計劃在今年內同時(shí)出售變頻空調機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大，有多少就能銷(xiāo)售多少，因此該公司要根據實(shí)際情況(如資金、勞動(dòng)力)確定產(chǎn)品的月供應量，以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過(guò)調查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數據如下表：

　　資 金 單位產(chǎn)品所需資金(百元) 月資金供應量(百元)

　　空調機 洗衣機

　　成 本 30 20 300

　　勞動(dòng)力(工資) 5 10 110

　　單位利潤 6 8

　　試問(wèn)：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少?

　　解：設空調機、洗衣機的月供應量分別是x、y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，由題意有

　　30x+20y≤300，

　　5x+10y≤110，

　　x≥0，

　　y≥0，

　　x、y均為整數.

　　由圖知直線(xiàn)y=- x+ P過(guò)M(4，9)時(shí)，縱截距最大.這時(shí)P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96(百元).

　　故當月供應量為空調機4臺，洗衣機9臺時(shí)，可獲得最大利潤9600元.

　　探究創(chuàng )新

　　9.實(shí)系數方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個(gè)根在(0，1)內，另一個(gè)根在(1，2)內，求：

　　(1) 的值域;

　　(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;

　　(3)a+b-3的值域.

　　f(0)>0

　　f(1)<0

　　f(2)>0

　　b>0，

　　a+b+1<0，

　　a+b+2>0.

　　如圖所示. A(-3，1)、B(-2，0)、C(-1，0).

　　又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為(1)( ，1);(2)(8，17);(3)(-5，-4).

　　●思悟小結

　　簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃在實(shí)際生產(chǎn)生活中應用非常廣泛，主要解決的問(wèn)題是：在資源的限制下，如何使用資源來(lái)完成最多的生產(chǎn)任務(wù);或是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規劃，能以最少的資源來(lái)完成.如常見(jiàn)的任務(wù)安排問(wèn)題、配料問(wèn)題、下料問(wèn)題、布局問(wèn)題、庫存問(wèn)題，通常解法是將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)模型，歸結為線(xiàn)性規劃，使用圖解法解決.

　　圖解法解決線(xiàn)性規劃問(wèn)題時(shí)，根據約束條件畫(huà)出可行域是關(guān)鍵的一步.一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開(kāi)放的非封閉平面區域.第二是畫(huà)好線(xiàn)性目標函數對應的平行直線(xiàn)系，特別是其斜率與可行域邊界直線(xiàn)斜率的大小關(guān)系要判斷準確.通常最優(yōu)解在可行域的頂點(diǎn)(即邊界線(xiàn)的交點(diǎn))處取得，但最優(yōu)整數解不一定是頂點(diǎn)坐標的近似值.它應是目標函數所對應的直線(xiàn)平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過(guò)的那一整點(diǎn)的坐標.

　　●教師下載中心

　　教學(xué)點(diǎn)睛

　　線(xiàn)性規劃是新增添的教學(xué)內容，應予以足夠重視.

　　線(xiàn)性規劃問(wèn)題中的可行域，實(shí)際上是二元一次不等式(組)表示的平面區域，是解決線(xiàn)性規劃問(wèn)題的基礎，因為在直線(xiàn)Ax+By+C=0同一側的所有點(diǎn)(x，y)實(shí)數Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線(xiàn)的某一側任取一點(diǎn)(x0，y0)〔若原點(diǎn)不在直線(xiàn)上，則取原點(diǎn)(0，0)最簡(jiǎn)便〕，把它的坐標代入Ax+By+C=0，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直線(xiàn)的哪一側.這是教材介紹的方法.

　　在求線(xiàn)性目標函數z=ax+by的最大值或最小值時(shí)，設ax+by=t，則此直線(xiàn)往右(或左)平移時(shí)，t值隨之增大(或減小)，要會(huì )在可行域中確定最優(yōu)解.

　　解線(xiàn)性規劃應用題步驟：(1)設出決策變量，找出線(xiàn)性約束條件和線(xiàn)性目標函數; (2)利用圖象在線(xiàn)性約束條件下找出決策變量，使線(xiàn)性目標函數達到最大(或最小).

　　拓展題例

　　【例1】 已知f(x)=px2-q且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的范圍.

　　解：∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，

　　p-q≤-1，

　　p-q≥-4，

　　4p-q≤5，

　　4p-q≥-1.

　　求z=9p-q的最值.

　　p=0，

　　q=1，

　　zmin=-1，

　　p=3，

　　q=7，

　　∴-1≤f(3)≤20.

　　【例2】 某汽車(chē)公司有兩家裝配廠(chǎng)，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的汽車(chē)，若A廠(chǎng)每小時(shí)可完成1輛甲型車(chē)和2輛乙型車(chē);B廠(chǎng)每小時(shí)可完成3輛甲型車(chē)和1輛乙型車(chē).今欲制造40輛甲型車(chē)和20輛乙型車(chē)，問(wèn)這兩家工廠(chǎng)各工作幾小時(shí)，才能使所費的總工作時(shí)數最少?

　　解：設A廠(chǎng)工作x h，B廠(chǎng)工作y h，總工作時(shí)數為t h，則t=x+y，且x+3y≥40，2x+y≥20，x≥0，y≥0，可行解區域如圖.而符合問(wèn)題的解為此區域內的格子點(diǎn)(縱、橫坐標都是整數的點(diǎn)稱(chēng)為格子點(diǎn))，于是問(wèn)題變?yōu)橐�在此可行解區域內，找出格子點(diǎn)(x，y)，使t=x+y的值為最小.

　　由圖知當直線(xiàn)l：y=-x+t過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，縱、橫截距t最小，但由于符合題意的解必須是格子點(diǎn)，我們還必須看Q點(diǎn)是否是格子點(diǎn).

　　x+3y=40，

　　2x+y=20，

　　得Q(4，12)為格子點(diǎn).

　　故A廠(chǎng)工作4 h，B廠(chǎng)工作12 h，可使所費的總工作時(shí)數最少.