2009年自主招生考試數學(xué)試題解析

　　自從2006年復旦大學(xué)、上海交通大學(xué)等全國重點(diǎn)院校招生改革“破冰”以來(lái)，各�！吧罨�自主選拔錄取改革試驗”招生方案不斷出臺。全國自主招生院校數目及招生規模也在增加，引起了教育界和廣大考生、家長(cháng)和中學(xué)教師對命題的高度關(guān)注。以下就近兩年數學(xué)考試特點(diǎn)進(jìn)行剖析。

　　試卷特點(diǎn)分析

　　1.基礎知識和基本技能仍是考查重點(diǎn)

　　基礎知識、基本技能稱(chēng)之為“雙基”。大家知道，能力與“雙基”有著(zhù)辯證關(guān)系。沒(méi)有扎實(shí)的“雙基”，能力培養就成了無(wú)源之水，無(wú)本之木。所以，“雙基”訓練是數學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。

　　綜觀(guān)復旦、交大、清華等高校近幾年自主招生的數學(xué)題目，我們會(huì )發(fā)現有60%至70%的題目仍是比較基礎的。例如近三年來(lái)上海交大卷的填空題都是10題（50分），占試卷的一半，這些填空題比較常規，和高考試題難度相當。復旦卷有30題左右的選擇題，也多半是學(xué)生平時(shí)訓練過(guò)的一些比較熟悉的題型和知識點(diǎn)。

　　2.考查知識點(diǎn)的覆蓋面廣，但側重點(diǎn)有所不同

　　復旦、交大等高校近幾年自主招生的試題，知識點(diǎn)的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及到高中數學(xué)大綱的所有內容。例如，函數、集合、數列、復數、三角、排列、組合、概率統計、向量、立體幾何、解析幾何等。

　　但高校自主招生試題命題是由大學(xué)完成的，更多會(huì )考慮到高等數學(xué)與初等數學(xué)的銜接，所以提請大家注意幾個(gè)方面：

　　函數和方程問(wèn)題、排列組合和概率統計等  粗略統計，2008年復旦卷中與函數和方程有關(guān)的試題多達10題，占31%。

　　復數  復數通常在高考中要求比較低，占的比分也較少，但在復旦卷中仍占有一席之地（2008年及2007年分別有2題和3題）。

　　矩陣和行列式  這些知識雖然目前還未納入高考范圍，但由于是高等數學(xué)中非常重要的內容，近幾年在復旦卷中每年都會(huì )出現。

　　以上各點(diǎn)，望能引起廣大師生的注意。

　　當然由于上述同樣的原因，盡管高考中解析幾何是一個(gè)比較重要的內容，但在復旦卷中所占比例卻較少，例如，2008年和2007年只有2題和1題。

　　3.注重數學(xué)知識和其他科目的整合，考查學(xué)生應用知識解決問(wèn)題的能力

　　2008年交大冬令營(yíng)數學(xué)試卷中有這樣一個(gè)問(wèn)題：

　　通信工程中常用n元數組（a1，a2，a3，……an）表示信息，其中ai=0或1，i、n∈N。設u=（a1，a2，a3，……an），v=（b1，b2，b3，……bn），d（u，v）表示u和v中相對應的元素不同的個(gè)數。

　�。�1）u=（0,0，0,0，0）問(wèn)存在多少個(gè)5元數組v使得d（u，v）=1

　�。�2）u=（1,1，1,1，1）問(wèn)存在多少個(gè)5元數組v使得d（u，v）=3

　�。�3）令w=（01，04,02……0），u=（a1，a2，a3……an），v=（b1>，b2，b3……bn）

　　求證：d（u，w）＋d（v，w）≥d（u,v）

　　此問(wèn)題與計算機中的“二進(jìn)制”有關(guān)。前兩問(wèn)是排列組合計數問(wèn)題，尤其是第三問(wèn)有一定的挑戰性�？砂裠（u,v）轉化為一個(gè)絕對值問(wèn)題
　　4.突出對思維能力和解題技巧的考查

　　近幾年的自主招生試卷中對數學(xué)思想方法和思維策略的考查達到了相當高的層次，有時(shí)甚至達到相當于數學(xué)競賽的難度。

　　例如，2007年交大冬令營(yíng)卷中有這樣一個(gè)問(wèn)題：

　　設f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a，試證明對任意實(shí)數a：

　�。�1）方程f(x)=0總有相同實(shí)根

　�。�2）存在x0，恒有f(x0)≠0

　　這兩問(wèn)解決的策略和方法是：換一個(gè)角度看成一個(gè)關(guān)于a的一次函數。

　　應試和準備策略

　　針對上述自主招生試題特點(diǎn)，學(xué)生復習時(shí)應注意以下幾點(diǎn)。

　　1.注意知識點(diǎn)的全面

　　數學(xué)題目被猜中的可能性很小，一般知識點(diǎn)都靠平時(shí)積累，剩下的就是個(gè)人的現場(chǎng)發(fā)揮。數學(xué)還是要靠平時(shí)扎扎實(shí)實(shí)的學(xué)習才能考出好成績(jì)，因此，學(xué)生平時(shí)必須把基礎知識打扎實(shí)。

　　另外，對上面提及的一些平時(shí)不太注意的小章節或高考不一定考的問(wèn)題，如矩陣、行列式等也不可忽視。

　　2.適當做些近幾年的自主招生的真題

　　俗話(huà)說(shuō)：知己知彼，百戰百勝。同學(xué)們可適當訓練近幾年自己所考的高校所出的自主招生試題，熟悉一下題型和套路。

　　3.注重知識的延伸和加深

　　復旦、交大、清華等全國重點(diǎn)院校自主招生試題比高考試題稍難，比數學(xué)競賽試題又稍簡(jiǎn)單，有些問(wèn)題稍有深度，這就要求考生平時(shí)注意知識點(diǎn)的延伸和加深。例如2008年復旦卷的第77題：

　　四十個(gè)學(xué)生參加數學(xué)奧林匹克競賽。他們必須解決一個(gè)代數學(xué)問(wèn)題、一個(gè)幾何學(xué)問(wèn)題以及一個(gè)三角學(xué)問(wèn)題。具體情況如下表所述。

　　其中有三位學(xué)生一個(gè)問(wèn)題都沒(méi)有解決。問(wèn)：三個(gè)問(wèn)題都解決的學(xué)生數是(  )。

　　A.5  B.6  C.7  D.8

　　此題若是用畫(huà)圖、文氏圖等方法雖能解決，但花費時(shí)間較多。若是知題三個(gè)集合的容斥原理,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|，只要代入公式，馬上就可解決。

　　又如第88題：

　　設x1,x2,x3是方程x3+x+2=0

　　此題若是知題三次方程的韋達定理，則也容易解決。而三次方程和韋達定理雖然可推導出來(lái)，但平時(shí)同學(xué)們對二次方程的韋達定理很熟悉，對三次方程則比較陌生。

　　又比如，柯西不等式可解決許多不等式問(wèn)題，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生對此不熟悉。

　　總之，同學(xué)們若是多注意一些知識點(diǎn)的延伸和加深，考試時(shí)必定會(huì )有一種居高臨下的感覺(jué)。